某資格試験受験の思い出

　メールで、質問のあった、「垂直な分割線による、等面積の分割」について問題を作成しました。問題は完成していますが、まだ、答えを書いていません。チャレンジしてくださいね。…と書きましたが、早速、答えを書きました。なお、後半に、とても難解な【例題２】を追加しました。その答えも書きました。


【例題１】
　図１のようにＡＢＣＤＡで囲まれた土地の所有権の登記名義人である甲山は、本土地を、二人の子供に贈与するため、（イ）・（ロ）の二筆の土地に分筆することとした。
　
（条件）
①図１のように、分割線ＰＱによって分割すること。Ｐは、線分ＡＤ上の点、Ｑは線分ＢＣ上の点である。
②∠ＡＰＱ＝９０°となるようにすること
③四角形ＣＤＰＱの部分を（イ）とする。
④四角形ＡＢＱＰの部分を（ロ）とする。
⑤面積は、出来得る限り（イ）＝（ロ）となるようにする。
⑥各分割点の座標値は、四捨五入して下２桁まで求めること。なお、この表示方法で丸めた座標値による計算において、②の条件の誤差は、０゜０′２０″以下とする。

⑦実測面積の計算値の端数処理は、登記の申請書に記載する場合の表示方法によるものとする。なおこの表示方法で表示した場合において、⑤の条件の誤差は０．０４㎡以下とする。本土地は登記簿の地目も現況も宅地である。

　四角形ＡＢＣＤの面積を求めよ。
　分割点Ｐ・Ｑの座標値を求めよ。
　∠ＡＰＱを求めよ。（四捨五入して１秒単位までで求めよ。）
　分筆された、（イ）・（ロ）の土地の面積を求めよ。
　但し（イ）・（ロ）の面積を計算するにあたっては、分筆前の土地の総面積から（イ）または（ロ）を差し引いて算出するのではなく、（イ）・（ロ）の周囲の筆界点（新設の筆界点を含む）の座標値によって算出するものとする。
　メモリーの使用の仕方は、以下のように指定します。この方が、解答を見るときに見易いでしょう。


表１
＊　　　　Ｘ座標　　　　　　　　Ｙ座標
Ａ　　－５２４．９３　　　　＋２３８．７１　　→ａメモリーに入れること
Ｂ　　－５３４．７８　　　　＋２４２．６３　　→ｂメモリーに入れること
Ｃ　　－５３０．７０　　　　＋２５８．３８　　→ｃメモリーに入れること
Ｄ　　－５１４．３０　　　　＋２５５．７５　　→ｄメモリーに入れること
Ｐ　　　　　　　　　　計算点である。　　　　　→ｅメモリーに入れること
Ｑ　　　　　　　　　　計算点である。　　　　　→ｆメモリーに入れること




図１
＊　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｄｄ

＊　　　　　　　　　　　　　Ｐｅ

＊Ａａ

＊　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（イ）
＊　　　　　　　　（ロ）


＊　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｃｃ
＊　　　　　　　　　　　　　　　　Ｑｆ
＊　　　Ｂｂ



《解答》
　指定のように、メモリーに入れます。
　四角形ＡＢＣＤの面積＝
Ａｂｓ[Ｉｍ｛０．５×Ｃｏｎｊａ（ａ－ｃ）×（ｄ－ｂ）｝]
＝２３９．２７２０

答
２３９．２７㎡

線分ＡＤと線分ＢＣのなす角を求めます。
「線分ＡＤと線分ＢＣは交差していないのに、角度など出るのだろうか？」と疑問に思われる読者の皆様もいらっしゃるでしょう。しかし、出来ます。線分の延長線が交差するならば角度は出せます。（何故かは説明が長くなります。）
ａｒｇ（（Ｃ－Ｂ）÷（Ｄ－Ａ））＝１７゜２６′２．０７″
四捨五入しないで、→ｘに入れます。

　次に、「松尾の四点交点法」で、ＡＤとＢＣの交点Ｍを求めます。計算省略。
四捨五入しないで、→ｍに入れます。
　なお、「松尾の四点交点法」のｔやｓを求める式の分母は、メモリーが不足しているので、紙に書いても良いでしょう。（ｙメモリーを臨時で使用するのも可）

Ｍ＝－５４３．５１＋２０８．９２ｉ　


図２
＊　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｄｄ



＊　　　　　　　　　　　　　　Ｐｅ


＊　　　　　　　　Ａａ


＊　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｃｃ
＊　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｑｆ
＊　Ｍｍ　　　　　　　　　Ｂｂ


　以下、の計算方針
三角形ＭＡＢの面積を求めます。
「三角形ＭＡＢ＋四角形ＡＢＣＤ／２」の面積を求めます。
三角形ＭＰＱ＝１／２×底辺×高さ＝
０・５×ＭＰ×｛ＭＰ×Ｔａｎ（ｘ）｝＝「三角形ＭＡＢ＋四角形ＡＢＣＤ／２」
よりＭＰの長さを求めます。
三角形ＭＡＢ＝Ａｂｓ[Ｉｍ｛０．５×Ｃｏｎｊａ（ａ－ｍ）×（ｂ－ｍ）｝]
これを計算し、「アンス・コンジャ法」で、虚部を取り出して
＝１８３．１２…と電卓画面に表示されたら、２３９．２７２０×０．５を加えます。

０・５×Ｔａｎ（ｘ）×（ＭＰ）^2＝３０２．７５…
紙に書いたりはせず、そのまま計算して行きます。

ＭＰ＝２５．０８…
紙に書いたりはせず、四捨五入しないで→ｙに入れます。

ｍ＋ｙ∠ａｒｇ（ｄ－ａ）＝Ｐ
ｍ＋（ｙ／ＣＯＳ（ｘ））∠ａｒｇ（ｃ－ｂ）＝Ｑ

答
Ｐ＝－５２０．２７＋２４６．１８ｉ　
Ｑ＝－５３１．９７＋２５３．４８ｉ　

答
∠ＡＰＱ＝ａｒｇ（（ａ－ｅ）÷（ｆ－ｅ））＝９０゜０′１５″
誤差は、０゜０′２０″以内だから条件を満たす。


答
（イ）１１９．６２㎡（１１９．６２５０５㎡：宅地だから）
（ロ）１１９．６５㎡（１１９．６５２３５㎡：宅地だから）
誤差は０．０３㎡だから条件を満たす。
（イ）（ロ）を入れ替えて書いた人、重症ですぞ。








【例題２】
　先ほどの【例題１】の問題と数値その他、記載のない条件は同じである。
　図１のようにＡＢＣＤＡで囲まれた土地の所有権の登記名義人である甲山は、本土地を、二人の子供に贈与するため、（イ）・（ロ）の二筆の土地に分筆することとした。
　
（条件）
①【例題１】と同じ。
②出来得る限り∠ＡＰＱ＝８５゜５６′４０″となるようにすること。
③【例題１】と同じ。
④【例題１】と同じ。
⑤面積は、出来得る限り（イ）＝１２０．３２㎡となるようにする。
⑥各分割点の座標値は、四捨五入して下２桁まで求めること。なお、この表示方法で丸めた座標値による計算において、②の条件の誤差は、０゜０′０５″以下とする。
⑦【例題１】と同じ。


　分割点Ｐ・Ｑの座標値を求めよ。
　∠ＡＰＱを求めよ。（四捨五入して１秒単位までで求めよ。）
　分筆された、（イ）・（ロ）の土地の面積を求めよ。
　但し（イ）・（ロ）の面積を計算するにあたっては、分筆前の土地の総面積から（イ）または（ロ）を差し引いて算出するのではなく、（イ）・（ロ）の周囲の筆界点（新設の筆界点を含む）の座標値によって算出するものとする。
　メモリーの使用の仕方は、【例題１】と同じである。





《解答》
線分ＡＤと線分ＢＣのなす角を求め、四捨五入しないで、→ｘに入れます。
次に、ＡＤとＢＣの交点Ｍを求め四捨五入しないで、→ｍに入れます。
∠ＡＰＱ＝８５゜５６′４０″を→ｙに入れます。
四角形ＡＢＣＤの面積＝２３９．２７２０㎡を求めます。
（イ）＋（ロ）＝２３９．２７２０㎡で、（イ）は１２０．３２㎡だから、差し引き
（ロ）＝１１８．９５２０㎡である。


図３
＊　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｄｄ



＊　　　　　　　　　　　　　　Ｐｅ
＊　　　　　　　　　　　　　　ｙ

＊　　　　　　　　Ａａ


＊　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｃｃ
＊　　　　　ｘ　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｑｆ
＊　Ｍｍ　　　　　　　　　Ｂｂ


ＳＩＮ（∠ＭＱＰ）＝ＳＩＮ（１８０°－（ｘ＋ｙ））＝ＳＩＮ（ｘ＋ｙ）
であるので、
正弦定理より
ＭＰ／ＳＩＮ（ｘ＋ｙ）＝ＭＱ／ＳＩＮ（ｙ）であるから
ＭＱ＝ＭＰ×ＳＩＮ（ｙ）／ＳＩＮ（ｘ＋ｙ）
また、
三角形ＭＰＱの面積＝０・５ＭＰ×ＭＱ×ＳＩＮ（ｘ）＝「三角形ＭＡＢ＋（ロ）」
＝１８３．１１８２＋１１８．９５２０＝３０２．０７０２
ＭＱを代入して、
０・５ＭＰ×ＭＰ×ＳＩＮ（ｙ）／ＳＩＮ（ｘ＋ｙ）×ＳＩＮ（ｘ）＝３０２．０７０２
これを解いて、（出来るだけ式を紙に書かずに済ませられるよう練習しておきましょう。）
ＭＰ＝４４．３４７０
メモリーが不足しているので、これを一旦紙に書いておきます。
電卓画面に４４．３４７０が表示されたまま、

ｍ＋ＡＮＳ∠ａｒｇ（ｄ－ａ）＝Ｐ
ＭＱ＝ＭＰ×ＳＩＮ（ｙ）／ＳＩＮ（ｘ＋ｙ）
だったから
ＭＱ＝４４．３４７０×ＳＩＮ（ｙ）／ＳＩＮ（ｘ＋ｙ）
ＭＱ＝４５．４６９９、電卓画面にこれが表示されたまま、
ｍ＋ＡＮＳ∠ａｒｇ（ｃ－ｂ）＝Ｑ

答
Ｐ＝－５２０．０４＋２４６．５５ｉ　
Ｑ＝－５３２．１１＋２５２．９４ｉ　

答
∠ＡＰＱ＝ａｒｇ（（ａ－ｅ）÷（ｆ－ｅ））＝８５゜５６′４０．１″
四捨五入して８５゜５６′４０″を答えとする。
誤差は、当然０゜０′０５″以下。


答
（イ）１２０．３２㎡（１２０．３２３５㎡：宅地だから）
（ロ）１１８．９４㎡（１１８．９４７９㎡：宅地だから）
誤差は（イ）の面積が条件とぴったりであるので、誤差なしと考えます。
（イ）（ロ）を再び入れ替えて書いた人、ほんとにほんとに重症ですぞ。しかし、右側が（イ）の場合は本当に間違え易いですね。





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　以下は、「上級者は読んではいけないコーナー」です。上級者は、以上に述べたような正攻法で解けるはずですので、中級以下の方だけ読んでください。

　今回の問題は、【例題１】も【例題２】も、「松尾の面積比・相似比分割法」と「強引二次方程式分割法」が、合体したような方法でした。なぜ、これらの問題だけは二つの方法が合体してしまうのか、良く解りません。
　それはひとまず置いて、ここでは、「下手な鉄砲方式」で解いてみましょう。

【例題１】の別解
　正確に図を描いて、ＰのＹ座標値を、定規の目盛で、２４６．５０ｉ　と読み取ったとしましょう。これを真のＰと区別するためＰ’と置きます。
　Ｐ’の、Ｘ座標値を、「松尾の切片計算法」で正確に求めます。

ｔ＝｛Ｉｍ（ａ－ｄ）｝^-1×Ｉｍ（２４６．５０ｉ　－ｄ）…（新♪虚）
ｔ＝０．５４２８…を得ます。これが電卓画面に表示されている時に、
Ｐ’＝ＡＮＳ×ａ＋（１－ＡＮＳ）×ｄ
＝－５２０．０７０４…＋２４６．５０００ｉ　
丸めずｅメモリーに入れます。
　次に、Ｑ’点を求めます。いろいろ方法が有るのですが、試験の時は頭が興奮してますので、慣れ親しんだ「松尾の四点交点法」がベストでしょう。

　まず、Ｐ’点からＡ点へ向かう方向角より、左回りに９０度の方向に４０ｍ（何ｍでも可）飛んだ架空の点を計算します。
ｅ＋４０∠（ａｒｇ（ａ－ｄ）－９０）
＝－５５４．００８２…＋２６７．６７１３…ｉ　
これを丸めずにｆメモリーに入れます。
ＢＣとｅｆの交点Ｑ’を、「松尾の四点交点法」で、求めます。
Ｑ’＝－５３１．８７０６…＋２５３．８６１３…ｉ　
あらためて、これを丸めずにｆメモリーに入れます。

　正確に、Ｐ’Ｑ’ＣＤの面積を求めます。これを「仮の（イ）」と呼ぶことにします。
仮の（イ）＝Ａｂｓ[Ｉｍ｛０．５×Ｃｏｎｊａ（ｅ－ｃ）×（ｄ－ｆ）｝]
＝１１４．４０７４６２…㎡
ＡＢＣＤの面積は、２３９．２７２０㎡だったのでこの半分は１１９．６３６０㎡
その差１１９．６３６０㎡－１１４．４０７４６２㎡＝５．２２８５３９㎡

　さて、仮の（イ）は条件より狭い面積となっていますので、Ｐ’と Ｑ’を（ロ）の側に動かして真のＰと Ｑを決めなければいけません。この時、ＰＱＱ’Ｐ’の四点からなる細長い四角形の面積は、ちょうど５．２２８５３９㎡とならなければいけません。

　ここで、たとえ話で恐縮ですが、次の問題を考えてみましょう。
　幅０．０１５ｍ（１．５ｃｍ）のビニールテープを、１０ｍの長さに切った時、このビニールテープの面積は、いくらか。
答え０．０１５ｍ×１０ｍ＝０．１５㎡です。
　この時、ビニールテープの両端は、きれいな直角に切ってなければ正確には計算出来ません。しかし、斜めに切ってあったとしても、丸く切ってあったとしても、ギザギザに切ってあったとしても、細長い形状の面積ですから、実はあまり影響が有りません。
　そこで、本問に戻って考えます。５．２２８５３９㎡を、線分Ｐ’Ｑ’の長さで割ると、細長い四角形の幅が出てきます。（ＱＱ’の部分が斜めに切ってあることを無視して考えます。）さらに、このＰ’と Ｑ’を平行に動かして、ＰＱを求める問題は、一種の「セッ☆バック」問題と言えるでしょう。
（☆には「ト」が入ります。こうしないと、勝手にタグがついて一般大衆の検索に引っかかってしまいますので…。）

　「セッ☆バック」問題として解くならば、まず∠ＤＰ’Ｑ’と∠Ｐ’Ｑ’Ｃを求めなければいけません。
∠ＤＰ’Ｑ’＝９０度
∠Ｐ’Ｑ’Ｃ＝１０７゜２６′２．０７″これを紙に書いておきます。
　この問題では、（イ）の面積を増やす「セッ☆バック」ですから、バックではなく、何と言うのでしょうか。「セットアップ」と言うべきでしょうか。
　「セットアップ」の幅は、
５．２２８５３９㎡÷Ａｂｓ（ｅ－ｆ）＝０．３７５９３８…
です。これを紙に書いておきます。これが電卓画面に表示されている時、
Ｑ＝ｆ＋（ＡＮＳ／ＳＩＮ（１０７゜２６′２．０７″））∠ａｒｇ（ｂ－ｃ）
注意）ＡＮＳ／ＳＩＮ（１０７゜２６′２．０７″）の部分は括弧でまとめないと「∠」の計算が正しく出来ません。
＝－５３１．９６９４…＋２５３．４７９８…ｉ　
丸めて答を得ます。
Ｑ＝－５３１．９７＋２５３．４８ｉ　

Ｐ＝ｅ＋（０．３７５９３８／ＳＩＮ（９０゜））∠ａｒｇ（ａ－ｄ）
当然ＳＩＮ（９０゜）＝１ですから通常はこの部分を省略します。
＝－５２０．２６９４…＋２４６．１８１０…ｉ　
丸めてえを得ます。
Ｐ＝－５２０．２７＋２４６．１８ｉ　

　Ｐ・Ｑの座標値が、四捨五入し易い数値で求められましたので、これが答えと確信出来そうですが、条件の角度や面積に合っているかどうか検証すべきことは言うまでもありません。以下、正攻法と同じです。

答
Ｐ＝－５２０．２７＋２４６．１８ｉ　
Ｑ＝－５３１．９７＋２５３．４８ｉ　






　…以上「下手な鉄砲方式」を掲載しましたが、その後マツヨシが検討しました結果、【例題１】には「下手な鉄砲方式」を活用できますが、【例題２】に活用することは無理があることが解りました。この方法の大筋の方針は、「目分量で分割線を入れ、その座標値を読み取ってさらに正確な数値を算出する。」というものです。面積を等分するような問題は、目分量というものも活用できますが、面積が数値で与えられた場合は、短時間に図面上の分割線の位置を判断する方法を、今のところ見つけきれないことが解りました。
　しかし、いきなり以下の記事を消してしまうのもいかがなものかと思い、しばらく掲載しておきます。
　なお、図面上で指定された部分を、定規を当てて目盛を読み取ることで面積を判断できる有効な方法が有れば、またこの方法も復活できるかもしれません。



【例題２】の別解
　先に解いた【例題１】の別解では、正確に図を描いて、ＰのＹ座標値を正確に読み取ったので、すんなりと答えに行き着きました。今回は、正解より少し外れたデーターを読み取ってしまった場合を想定します。
　ＰのＹ座標値を、２４６．００ｉ　と読み取ったとしましょう。これを真のＰと区別するためＰ’と置きます。


　なお、【例題１】の場合は、（イ）と（ロ）の面積を等しくするのが、主要な条件でしたので、「この辺に分割線を入れたら（イ）と（ロ）は同じくらいかな？」と思う所に分割線を入れれば良かったのですが、【例題２】の場合は、（イ）の面積が数値で指定してあるので、図面上の（イ）の面積がどのような数値であると判断するかが重要なポイントとなります。これについては、今のところ良い方法を思いつきません。とりあえず全体から（イ）の面積を引いて、（ロ）の面積を数値で出して、（イ）と（ロ）の面積比を考えながら分割線を入れるような原始的な方法でやるしかないでしょう。


　Ｐ’の、Ｘ座標値を、「松尾の切片計算法」で正確に求めます。

Ｐ’＝－５２０．３８２３…＋２４６．００００ｉ　
丸めずｅメモリーに入れます。
　次に、Ｑ’点を「松尾の四点交点法」で求めます。

　まず、Ｐ’点からＡ点へ向かう方向角より、左回りに（条件の∠ＡＰＱ＝）８５゜５６′４０″の方向に４０ｍ（何ｍでも可）飛んだ架空の点を計算します。
ｅ＋４０∠（ａｒｇ（ａ－ｄ）－８５゜５６′４０″）
＝－５５５．７３２５…＋２６４．７１８１…ｉ　
これを丸めずにｆメモリーに入れます。
ＢＣとｅｆの交点Ｑ’を、「松尾の四点交点法」で、求めます。
Ｑ’＝－５３２．２７５６…＋２５２．２９７６…ｉ　
あらためて、これを丸めずにｆメモリーに入れます。

　正確に、Ｐ’Ｑ’ＣＤの面積を求めます。これを「仮の（イ）」と呼ぶことにします。
仮の（イ）＝１２９．０７９７０８…㎡
　条件で、（イ）＝１２０．３２㎡だったので、その差
１２０．３２㎡－１２９．０７９７０８㎡＝８．７５９７０８㎡

　さて、仮の（イ）は条件より広い面積となっていますので、Ｐ’と Ｑ’を（イ）の内側に動かして真のＰと Ｑを決めなければいけません。
∠ＤＰ’Ｑ’＝１８０゜－８５゜５６′４０″＝９４゜０３′２０″
∠Ｐ’Ｑ’Ｃ＝１０３゜２２′４２．０７″これを計算して紙に書いておきます。
８．７５９７０８㎡÷Ａｂｓ（ｅ－ｆ）＝０．６５０９０５…
です。これを紙に書いておきます。これが電卓画面に表示されている時、
Ｑ＝ｆ＋（ＡＮＳ／ＳＩＮ（１０３゜２２′４２．０７″））∠ａｒｇ（ｃ－ｂ）
＝－５３２．１０７９…＋２５２．９４５３…ｉ　
　丸めて答えを得たいところですが、Ｙ座標値の下３桁以下の端数が四捨五入には不適当すぎるので、ここで判断しなければならないことがあります。（Ｘ座標値の下３桁以下も微妙と言えば微妙ですが…。）次の、ふたつの候補を試してみなければいけません。但し、線分Ｐ’Ｑ’を（イ）の方向（東方向）に動かすのであれば、見取図の形から、Ｐ’Ｑ’の距離は、動かすほど拡大するので、Ｙ座標値としては、より「控え目」な数値である「第二候補」の方を検討するのが妥当ですが、通常そこまで気が回るとは思えません。そこで、先に「第一候補」を試してみます。

第一候補Ｑ＝－５３２．１１＋２５２．９５ｉ　→ｆメモリーに入れます。
第二候補Ｑ＝－５３２．１１＋２５２．９４ｉ　

ところで、Ｐの座標値は
Ｐ＝ｅ＋（０．６５０９０５／ＳＩＮ（９４゜０３′２０″））∠ａｒｇ（ｄ－ａ）
＝－５２０．０３６９…＋２４６．５５３６…ｉ　
（Ｘ・Ｙ座標値とも下３桁以下が微妙と言えば微妙ですが…。）
丸めて答えを得ます。ｅメモリーに入れます。
Ｐ＝－５２０．０４＋２４６．５５ｉ　
∠ＡＰＱ＝ａｒｇ（（ａ－ｅ）÷（ｆ－ｅ））＝８５゜５８′５３．５３″
条件とあまりにも違うので、「第二候補」を試してみます。
ｆ－０．０１ｉ　→ｆメモリーに入れます。
∠ＡＰＱ＝ａｒｇ（（ａ－ｅ）÷（ｆ－ｅ））＝８５゜５６′４０．１″
条件に合うので、これを答えとします。
　条件の角度や面積に合っているかどうかすでて検証すべきことは言うまでもありません。以下、正攻法と同じです。


　しかし、もっと微妙な誤差の時は、検討することが多くて全然駄目です。その場合は、最初に２４６．００ｉ　と読み取った、ＰのＹ座標値を、もっと正解に近付けた数値、例えば、今までの計算で、「第一候補」とされた２４６．５５ｉ　などに変えて、初めからもう一度同様の計算をすると、ピッタリの数値が出てきます。しかし、その場合時間が掛りますね。

答
Ｐ＝－５２０．０４＋２４６．５５ｉ　
Ｑ＝－５３２．１１＋２５２．９４ｉ　

　以上、【例題１】・【例題２】の別解を「下手な鉄砲方式」で計算しましたが、この節以前に解説してきた「下手な鉄砲方式」と原理は同じです。誤算の部分をビニールテープの面積を計算するかのように、両端の形状を無視して概算計算することが、鍵となっています。
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