某資格試験受験の思い出

　「おしらせ９０」で、計算方法は概略説明しましたが、もう少し詳しく書きます。
　内容が、重複していますがあしからず。

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数値を下２桁で丸めるかどうかの判断についての指針
マツヨシの勝手な計算原則（内容は保証出来かねます。）

　次のような問題が有った場合の四捨五入の処理はどうしたものでしょうか？

問題１…Ａは既知点（下２桁で座標値が解っている）、Ｃが求点（下２桁で求める）、Ｃを求める為にＢ点を求める必要がある場合で、答案にＢ点の座標値を問わないもの。

問題２…問題１と条件は同じで、答案にＢ点の座標値（下２桁で求める）を問うもの。


（問題１の場合）
　Ａ点から→Ｂ点を求め→Ｃ点を求める
という流れになりますが、原則としてＢ点の座標値を丸めないでＣ点を求める計算に使用します。「Ｂ点の座標値が必要だ。」と感じたのは、受験生の感覚であって、Ａ点からいきなりＣ点を求める計算法が有れば、それで求める訳ですから、途中のＢ点で四捨五入することによって誤差を拡大させてはいけません。

（問題２の場合）
　同じ流れになりますが、Ｂ点の座標値を丸めてＣ点を求める計算に使用する場合と、丸めないで使用する場合の両方が存在します。
　なるべく正確に計算するなら、丸めないＢを使用すべきことは言うまでも有りませんが、そのようにすると、解答にＢ点の座標値を書かせたことが「これが正式なＢの座標値である。」と宣言したようなものですから、これを使わないで次の計算に入るということにいささか問題が有るのかもしれません。
　但し、どちらで計算してもＣ点の解答に影響が無いようにＢ点の座標値を切りの良い数値（下３桁以下が四捨五入し易い数値）になっていることが多いです。
　そうでない場合は、どちらかというと「Ｂ点の座標値を丸めて使用する。」場合が多ようにマツヨシは感じました。もし、本試験でこのような場面に遭遇したら一種の賭けみたいなものと思ってどちらか御自分で判断してください。
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　ところで、もうひとつ重要な指針がありました。
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条件が過剰な時の計算指針
マツヨシの勝手な計算原則（内容は保証出来かねます。）

　次のような問題が有った場合の計算方針はどうしたものでしょうか？

問題例１…Ａ・Ｂは既知点、Ａ→Ｂの延長上にあるＣを求点する問題である。但しＡとＢが既知点であるから、Ａ→Ｂの方向角は計算で求められるにもかかわらず、Ａ→Ｂの方向角が何゜何′何″というように数値で与えられていて、計算で求めたものと微妙に違っている。（本問Ｈ点の求点と共通する部分有り）

　このような、条件過剰な問題の場合、指針としましては、①及び②の方針で処理します。
①具体的に与えられた数値を優先すること。つまり、あなたが計算で求めた数値よりも、問題文に出てくるストレートな数値を「正」とすること。
②「①」の方針により、条件同士で矛盾した部分が出てもあまり気にしないこと。

　したがって問題例１の場合は、数値で与えられた方向角を使ってＣを求めます。


問題例２…Ａ・Ｂ・Ｃ・Ｄは既知点、直線ＡＢと直線ＣＤの交点Ｅは、計算で求められる。このＥの座標値を使って点Ｆを求める問題である。但し問題にＥ点の座標値が数値で与えられていて、それが交点計算で求めたものと微妙に違っている。

　この問題の場合も、数値で与えられたＥの座標値を使ってＦを求めます。

問題例３…Ａ・Ｂ・Ｃは既知点、線分ＡＢ上に点Ｄを取る。ＣＤの距離が☆．☆☆ｍと数値で与えられていて、Ｄを求点する問題である。これだけの条件でＤの座標値は（正弦定理等により）計算で求められるのであるが、さらに御親切にＣ→Ｄの方向角が何゜何′何″というように数値で与えられていて、実際に計算で求めたＤによりＣ→Ｄの方向角を求めてみると、与えられた方向角と微妙に違っている。

＊　　　　　　　Ａ
＊

＊　　　　　Ｄ


＊　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｃ

＊Ｂ

　この問題の場合は、いろいろな計算方針が考えられますが、多いのは次のような方針です。
　Ｃ点から与えられた方向（角）に、与えられた距離だけ進んだところがＤ点であるとして求めます。このような計算で求めたＤ点が、正確には直線ＡＢ上に無くてもそれは仕方の無いことと無視して、これを答とします。（「Ｄ点が直線ＡＢ上に無い」という状態は、線分ＣＤと線分ＡＢの間に隙間が有る場合とか、Ｄ点が線分ＡＢを突き抜けている場合のことを指します。）

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さて、問題に入ります。

Ｆｉｘモードを下２桁に設定します。
犬電卓において、変数のメモリー場所を次のように決めます。

Ｄ→ｄメモリーに入れます。
Ｅ→ｅメモリーに入れます。
Ｊ→ｆメモリーに入れます。

ＤＨとＥＪの交点をＷとすると
Ｗ＝ｅ＋９．７３２∠ａｒｇ（ｆ－ｅ）
ですからこの部分の計算結果を紙に書いたりせずに、いきなりＨを計算して、
Ｈ＝ｅ＋９．７３２∠ａｒｇ（ｆ－ｅ）＋６．８３６∠１２０゜０′０″
＝３１３．３７００＋３２１．２６０１ｉ　→紙には書かなくても良いでしょう。
再度計算して合っていたら、下２桁で丸めてＨ座標値の解答とします。
Ｈ＝３１３．３７＋３２１．２６ｉ　→ｍメモリーに入れます。




猫電卓において、変数のメモリー場所を次のように決めます。

Ｄ→ｄメモリーに入れます。
Ｅ→ｅメモリーに入れます。
Ｔ１→ｘメモリーに入れます。
Ｔ２→ｙメモリーに入れます。
Ｔ３→ｆメモリーに入れます。

Ａ＝ｘ＋１５．１２０∠（ａｒｇ（ｙ－ｘ）＋１５０゜２１′４４″）
→紙には書かず丸めずにａメモリーに入れます。
Ａ＝３０９．５９９１＋２７７．０８７０ｉ　

Ｍ＝ｘ＋０６．６１３∠（ａｒｇ（ｙ－ｘ）＋３２４゜０２′２９″）
→紙には書かず丸めずにｍメモリーに入れます。
Ｍ＝３０９．６６８１＋２９８．７９１９ｉ　

Ｋ＝ｙ＋０５．０６７∠（ａｒｇ（ｆ－ｙ）＋３１９゜０７′５４″）
→メモリーの個数が不足しそうなので紙に書きます。（最終的には求積のための座標値全てを犬電卓に集約するつもりです。）
Ｋ＝３０３．３４１５＋３１０．９０１０ｉ　

　それぞれ、二回計算して、ＡとＭについては「電卓内部検算」を行います。（つまり二回目の計算結果からメモリーを引き算して零になることを確認します。）Ｋについては、紙に書いてある数値と同じであることを確認します。

△ＡＢＭについて、ＡＭを底辺とし、Ｂから底辺に下ろした足（交点）をＰと置きます。
ＰＭ＝√（１６．２７＾２－１４．５１＾２）＝７．３６０２
これを紙にかいたりせずそのまま
ＡＢ＝√（（２１．７０－ＡＮＳ）＾２＋１４．５１＾２）＝２０．４００２


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上級者以外、見てはいけない知ってはならない。
なお、ここで∠ＢＭＰをアークサインで求め、余弦定理でＡＢの距離を求めるのも可です。
∠ＢＭＰ＝ＳＩＮ＾－１（１４．５１÷１６．２７）
＝６３゜０６′１２．７３″→紙に書かずそのまま
ＡＢ＝√（１６．２７＾２＋２１．７０＾２－２×１６．２７×２１．７０×ＣＯＳ（ＡＮＳ））
とします。
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ＡＢとＥＭは平行ですから、Ａ→Ｂの方向角とＭ→Ｅの方向角は同じです。
ＡＢの値を紙にかいたりせずそのまま
Ｂ＝ａ＋ＡＮＳ∠ａｒｇ（ｅ－ｍ）
→紙には書かず丸めずにｂメモリーに入れます。
ＰＭからの計算を二回行い、Ｂについては「電卓内部検算」を行います。
Ｂ＝３２４．１５４８＋２９１．３８０３ｉ　

ＢＭ＝Ａｂｓ（ｂ－ｍ）＝１６．２７（←地積測量図上に書いてある距離）であることを確認します。
∠ＥＭＢ＝ａｒｇ（（ｅ－ｍ）÷（ｂ－ｍ））
＝７１゜３４′２５．３３″これを紙に書きます。


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上級者以外、見てはいけない知ってはならない。
ここで、「∠ＥＭＢを求めるだけであれば、Ｂ点の座標値は必要ないのではないか？」という疑問が出てきます。（但し、Ａ点の座標値はどうしても必要です。）
Ａ点の座標値を求めた後、
∠ＢＭＡ＝∠ＢＭＰ＝ＳＩＮ＾－１（１４．５１÷１６．２７）
＝６３゜０６′１２．７３″→紙に書かずそのまま
∠ＥＭＢ＝∠ＥＭＡ－∠ＢＭＡ＝ａｒｇ（（ｅ－ｍ）÷（ａ－ｍ））－ＡＮＳ
＝７１゜３３′２７．５８″→先ほど出した数値と少し異なるのは、地積測量図の各辺の辺長の四捨五入によるものと思われます。この数値のまま、次の計算に入っても影響ありませんでした。但し、この問題は非常に曖昧な表現が多いので、Ｂ点も座標値を求めて、着実に計算を進める方が無難かもしれません。
　ただ、このようにして計算出来るのであれば、問題文の「ＡＢとＥＭが平行である。」という条件は「一体何だったのか？」という疑問が出てきます。これは問題の作成者が図形や数学に不慣れであるにも関わらず「凝った問題を作ろう。」と意気込んだせいではないか？とマツヨシは推測します。
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△ＢＣＭについて、ＢＭを底辺とし、Ｃから底辺に下ろした足（交点）をＱと置きます。
ＣＭ×ＳＩＮ（７１゜３４′２５．３３″）＝ＣＱなので、
ＣＭ＝９．６７÷ＳＩＮ（７１゜３４′２５．３３″）
（↑実際は角度の部分はＡＮＳとします。）
ＣＭ＝１０．１９２６
これを紙にかいたりせずそのまま
Ｃ＝ｍ＋ＡＮＳ∠ａｒｇ（ｅ－ｍ）
Ｃ＝３１６．９４０６＋３０５．９３３３ｉ　→念のため紙に書きます。
丸めないでｃメモリーにいったん入れ、「電卓内部検算」を行います。
合っていたら下２桁で丸めたものを、猫電卓の表示を見ながら数字キーを押して犬電卓のｃメモリーに入れます。
Ｃ＝３１６．９４＋３０５．９３ｉ　これが、Ｃの解答です。
以下、犬電卓に面積計算に必要な座標値を集めて行きます。
Ｉの座標値（既知点）→犬電卓のｘメモリーに入れます。
Ｋの座標値（紙に書いた）→下２桁で犬電卓のｙメモリーに入れます。

求める申請地の面積＝
四角形ＣＤＨＩ＋四角形ＩＨＪＫ
＝Ａｂｓ[Ｉｍ｛０．５×Ｃｏｎｊａ（ｃ－ｍ）×（ｄ－ｘ）｝]
＋Ａｂｓ[Ｉｍ｛０．５×Ｃｏｎｊａ（ｘ－ｆ）×（ｍ－ｙ）｝]
＝１１３．８７５０㎡
解答は１１３㎡です。
　境内地なので、少数点以下を切捨てます。この問題を読み始めた時は、「境内地だから１㎡単位だぞ。」と自分に言い聞かせた受験生でも、計算の終わりの頃には忘れてしまった方が結構いらっしゃったでしょう。この土地の見取図には「社務所」や「社殿」・「神楽殿」などが描いてあって、あたかも宅地の図面を見ているような錯覚におちいらせてしまうところが、この問題の意地悪なところです。




　ところで、問題文で「直線上にあるもの」とされた各点が本当に直線上にあるのかどうかの検証をしなければなりません。しかし、実際はそんな時間的な余裕は無いでしょう。
　このブログでは、練習のため検証してみましょう。

　問題の条件は、次の①②です。
①Ｃ・ＤはＥＭ上の点である。
②Ｊ・ＫはＧＬ上の点である。

　一般に直線ＰＱ上にＲが有るかどうかを確認する場合の計算方法


＊　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　Ｐ

＊　　　　　　　　　　　　Ｒ
＊　　　　　　　　　　　　　Ｒ’

＊Ｑ

Ｒが直線ＰＱより北側にあると仮定して
方法１：∠ＲＱＰを調べます。
∠ＲＱＰ＝ａｒｇ（（Ｐ－Ｑ）÷（Ｒ－Ｑ））
　もし角度が正の数値で出れば、見込み通り北側にあるし、負の数値なら南側にあると判断します。

方法２：ＲからＰＱに下ろした垂線の足をＲ’と置く時、ＲＲ’の距離を求める。
ＲＲ’＝Ａｂｓ（Ｒ－Ｑ）×ＳＩＮ（∠ＲＱＰ）
　もし距離が正の数値で出れば、見込み通り北側にあるし、負の数値なら南側にあると判断します。
　方法２の方が、ずれている距離が解り易いですが、計算は面倒です。


　まず、①の条件から、
「ＣはＥＭ上の点である。」ことを検証してみましょう。
猫電卓で計算します。
ｃは、下２桁で丸めていますが、ｍは丸めていません。このまま計算するのは精度の点で問題があるのですが、試験中は時間が貴重なのでこのまま計算します。
方法１：∠ＣＭＥ＝ａｒｇ（（ｅ－ｍ）÷（ｃ－ｍ））＝０゜０′３９．０７″（北側）
方法２：ＣからＥＭまでの距離
＝Ａｂｓ（ｃ－ｍ）×ＳＩＮ（ＡＮＳ）＝０．００１９３０（北側）

　次に、「ＤはＥＭ上の点である。」ことを検証してみましょう。
　但し、Ｄの座標値は問題文に与えられているので、計算して今更「ＥＭ上の点ではない。」ということが判明してもどうしようもありませんから、実際には検証の必要はありません。
方法１：∠ＤＭＥ＝ａｒｇ（（ｅ－ｍ）÷（ｄ－ｍ））＝０゜０′１９．２６″（北側）
方法２：ＤからＥＭまでの距離
＝Ａｂｓ（ｄ－ｍ）×ＳＩＮ（ＡＮＳ）＝０．００１３９３（北側）

　どちらも距離にして２ｍｍ以下ですので、このぐらいの誤差ならば、ＣとＤは直線ＥＭ上の点であるといえるでしょう。
　また、距離を出さなくても、角度が１分にも満たないのでＯＫとしても結構です。
　ちなみに、１０ｍ×ＳＩＮ（０゜１′０″）≒０．００２９ｍ（→つまり２．９ｍｍ）ぐらいです。１分の誤差があれば、１０ｍ先では３ｍｍぐらいの誤差があるということです。




　次に、②の条件から、
「ＫはＧＬ上の点である。」ことを検証してみましょう。
犬電卓で計算します。
　Ｋの座標値はｙメモリーに、Ｊの座標値はｆメモリーに、下２桁で入っています。
　しかし、ＧとＬの座標値は、メモリーに入っていません。ここで、使わなくなったメモリーを再利用しても良いのですが、試験中にこれをすると混乱してどのデーターをどのメモリーに入れたかが解らなくなってしまうことがあります。そこで、その対策として、原始的な方法を紹介します。

問題文のＬの座標値
３０３．６５＋３０２．１４ｉ　＝
のように数字キーと「＝」を打って、電卓画面に表示します。ここで、Ｌの座標値がＡＮＳメモリーに入ります。
方法１：∠ＫＬＧ
＝ａｒｇ（（（３０２．５６＋３３２．８８ｉ　）－ＡＮＳ）÷（ｙ－ＡＮＳ））
＝０゜０′１４．５４″（北側）これを紙に書きます。

方法２：ＫからＧＬまでの距離
新型ｆｘ－＊＊＊ＥＳ（「＊＊＊」には９９３が入る。）には、電卓の上部（電卓画面の直ぐ下）に惰円形の「ＲＥＰＬＡＹ」というボタンがあるので、そこの△ボタンを押すと、今までの計算を遡ってみることができます。ここで
Ｌの座標値
３０３．６５＋３０２．１４ｉ　を見つけて再度「＝」を押すと、Ｌの座標値が再度ＡＮＳメモリーに入ります。この方法を、「リプレイ再入力法」と名付けることにします。

ＫからＧＬまでの距離
＝Ａｂｓ（ｙ－ＡＮＳ）×ＳＩＮ（０゜０′１４．５４″）＝０．０００６１８（北側）


　次に、「ＪはＧＬ上の点である。」ことを検証してみましょう。
　但し、Ｊの座標値は問題文に与えられているので、計算して今更「ＧＬ上の点ではない。」ということが判明してもどうしようもありませんから、実際には検証の必要はありません。
「リプレイ再入力法」で、Ｌの座標値を再度ＡＮＳメモリーに入れます。

方法１：∠ＪＬＧ
＝ａｒｇ（（（３０２．５６＋３３２．８８ｉ　）－ＡＮＳ）÷（ｆ－ＡＮＳ））
＝－０゜０′３０．３６″（南側）これを紙に書きます。

「リプレイ再入力法」で、Ｌの座標値を再度ＡＮＳメモリーに入れます。
方法２：ＪからＧＬまでの距離
＝Ａｂｓ（ｆ－ＡＮＳ）×ＳＩＮ（－０゜０′３０．３６″）＝－０．００１９４４（南側）
　このぐらいの誤差ならば、ＫとＪは直線ＧＬ上の点であるといえるでしょう。

　まだまだ、書き足すことが出そうです。